有空氣阻力的運動

1.隻受空氣阻力，初速度為 mathbf{v_0}，求 mathbf{a_t,v_t,s_t}

由牛頓第二定律， frac{mathrm dmathbf v}{mathrm dt}=frac{-kmathbf v}{m}

即 -frac{mmathrm dmathbf v}{kmathbf v}={mathrm dt}

兩邊積分， int-frac{mmathrm dmathbf v}{kmathbf v}=t+C

即 -frac{m}{k}ln mathbf v=t+C

t=0 時 C=-frac mklnmathbf{v_0}

於是 frac{bf v}{bf v_0}=e^{-frac{kt}m} , mathbf{v}=mathbf{v_0}e^{-frac{kt}m}

即 mathbf{v_t}=mathbf{v_0} e^{-frac{kt}m}

mathbf {a_t}{=frac{-kmathbf v}m\=-frac kmmathbf {v_0}e^{-frac {kt}m}}

mathbf {s_t}{=int_{0}^{t}mathbf vmathrm dt\=mathbf {v_0}int_0^te^{-frac{kt}m}mathrm d\=mathbf {v_0}frac mk(1-e^{-frac{kt}m})}

2.受重力和空氣阻力的運動

如上圖進行運動分解，可知 \mathbf {v_t}=frac{mmathbf g}k+(mathbf {v_0}-frac{mmathbf g}k)e^{-frac{kt}m}\mathbf {a_t}=-frac km(mathbf {v_0}-frac{mmathbf g}k)e^{-frac {kt}m}\mathbf {s_t}=frac{mmathbf gt}k+(mathbf {v_0}-frac{mmathbf g}k)(1-e^{-frac{kt}m})frac mk

3.初速度為 bf v_0 的物體上拋，經過 bf t 落下，問回到地面時速度

看起來很難，其實用沖量會很簡單

\mmathbf {v_0}+mmathbf{v'}{=-left(-int_0^{t_1}(mmathbf g+mathbf f)mathrm dt+int_{t_1}^{t}(mathbf f-mmathbf g)mathrm dtright)\=mmathbf gt+kh-kh\=mmathbf gt}

其中t_1 是到達頂點時的時間， mathbf f=-kmathbf v ， h 是高度

於是 mathbf v'=mathbf {v_0}-mathbf gt

4.質量 bf m 的小球從 bf A 點以 bf v_0 水平速度射出，收到重力和空氣阻力 bf f=-kv ，經過一段時間到達點 bf B ，速度 bf v_0' （未知），方向和水平成 mathbftheta 角，求 bf v_0' 和水平的 bf S_{AB}

a171e26b6bec68c6129538284eedf85d

如上圖右邊對該運動進行分解，其中 mathbf {v_1}=frac{mmathbf g}{k}

速度關系

根據張角定理

\frac1{mathbf{v_0'}}=frac{sintheta}{mathbf {v_1}}+frac{costheta}{mathbf v_0}

我們有

mathbf {v_0'}=frac{mathbf{v_0}mmathbf{g}}{mmathbf gcostheta+kmathbf{v_0}sintheta}\

於是

\AC=mathbf {v_2}(1-e^{-frac{kt}{m}})frac mk\BC=mathbf {v_1}t\S_{AB}=frac{mathbf{v_0}}{mathbf{v_2}}AC=frac{mmathbf{v_0}}{k}(1-e^{-frac{kt}m})

並且

\mathbf{v_2'}=mathbf{v_2}e^{-frac{kt}m}\e^{-frac{kt}m}=frac{mathbf{v_2'}}{mathbf{v_2}}=frac{mathbf{v_0'costheta}}{mathbf v_0}\mathbf{v_0'}=frac{e^{-frac{kt}m}mathbf{v_0}}{costheta}